Kapat

İkinci Dereceden Denklemler (Kök Bulma)

Anasayfa
Matematik İkinci Dereceden Denklemler (Kök Bulma)
ikinci dereceden denklemler

Bu yazımızda ikinci dereceden denklemler konusunu anlatacağız. Öncelikle ikinci dereceden denklemin tanımını yaparak başlayalım. a, b, c R olmak üzere ax2 + bx + c = 0 şeklinde yazılabilen denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Hemen örnek ile devam edelim.

ÖRNEK 1: x2 – 3x – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Eğer elimizdeki ikinci dereceden denklemler çarpanlarına ayrılabiliyorsa hızlı bir şekilde çözülebilmektedir. Yukarıdaki örnekte de görüldüğü üzere denklemimiz çarpanlarına ayrılabiliyor. Çarpanlarına ayrılmış haliyle yeniden yazmak gerekirse;

(x – 4).(x+1) = 0 olarak yeni denklemimiz çıkmış olur. Burada iki çarpımın sıfıra eşitlendiğini görüyoruz. Eğer iki çarpımın sonucu sıfırsa, çarpanların ikisinden birisi sıfır olmalıdır. Hangisinin sıfır olduğunu bilmediğimiz için her ikisini de ayrı ayrı sıfıra eşitleyip köklerimizi bulmalıyız. Buna göre;

x – 4 = 0 ve x + 1 = 0 olmak üzere iki farklı denklem elde ederiz. Buradan gerekli işlemler yapıldığında x1 = 4 ve x2 = -1 sonucuna ulaşmış oluruz. Burada x1 ve x2 olarak tanımladığımız değişkenler, bizim birinci ve ikinci kökümüzü temsil etmektedir. Çözüm kümesini yazmamız istendiği için;

Ç.K = {-1,4} şeklinde çözüm kümesini yazabiliriz.

Neden İki Adet Kök Bulduk?: Yukarıdaki örnekte iki farklı kök bulmamızın sebebi, denklemimizin ikinci dereceden olmasıdır. Eğer denklem birinci dereceden olmuş olsaydı bir kök, üçüncü dereceden olmuş olsaydı üç adet kök bulmamız gerekirdi. Dolayısıyla ikinci dereceden denklemler için iki adet kökümüz olacaktır. Buradan denklem derecesi kadar kök vardır diyebiliriz.   

ÖRNEK 2: x2 + 6x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Yine bu denklemimiz de çok rahatlıkla çarpanlarına ayrılabilmektedir. Çarpanlara ayrılmış hali (x + 3).(x + 3) = 0 olarak yazılacaktır. Fakat burada her iki çarpanımız da aynı olduğu için x1 ve x2 köklerimiz eşit olarak çıkar. Yani her iki kökümüz de bu denklemde “-3” olarak gelecektir. Artık biz bu duruma denklem çift katlı köke veya çakışık köke sahiptir diyebiliriz. Çözüm kümesi yazılırken de küme içerisinde bulduğumuz kök bir defa yazılmalıdır. ->->-> Ç.K = {-3}    

ÖRNEK 3: x2 – 16 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Bu denklemde 16 sabitini karşı tarafa atarsak x2 = 16 gibi bir denklem elde ederiz. Burada köklerimizi “4” ve “-4” olarak bulacağız. Eğer bir kök diğer kökün negatif haliyse biz bu kökleri simetrik kök olarak adlandıracağız.

ÖRNEK 4: x2 + 5 = -1 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Yukarıdaki örnekte hiçbir sayının karesinin negatif bir ifade olmayacağını biliyoruz. Bu durumda 5’i karşıya attığımızda x2 = -6 gibi bir ifade ortaya çıkacağından, denklemimizin reel kökü yoktur. Bu durumda çözüm kümesi bizden istenirse çözüm kümemiz boş kümedir deriz. ->->-> Ç.K = { }

NOT: Buraya kadar anlattığımız ve örneklendirdiğimiz ikinci dereceden denklemler çarpanlarına ayrılabiliyordu. Peki denklem çarpanlarına ayrılamıyorsa nasıl çözeceğiz? İşte bu durumda diskriminant ya da delta (∆) olarak nitelendirilen olay devreye girer.

ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinin varlığının incelenmesi

Diskriminant Formülü: b2 – 4ac

1) ∆ > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır. Bu kökler x1 ve x2 olsun.

ikinci dereceden denklemler, denklemler

Eğer diskriminant sıfırdan büyükse yukarıdaki formüller doğrultusunda çözüm kümemizi buluruz.

2) ∆ = 0 ise denklemin çakışık (çift katlı, eşit) iki reel kökü var demektir.

ikinci dereceden denklemler, denklemlerde kök bulma

3) ∆ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.

Ç.K = { }

ÖRNEK 5: x2 + 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Görüldüğü üzere denklem çarpanlarına ayrılamıyor. Burada a = 1, b = 2 ve c = 5 olduğunu rahatlıkla görebiliyoruz. Hemen denklemin diskriminantına bakacak olursak;

∆ = b2 – 4ac → ∆ = 22 – 4.1.5 → ∆ = -16 (reel kök yok çünkü delta sıfırdan küçük)

Ç.K = { }

ÖRNEK 6: x2 + 4x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

∆ = b2 – 4ac → 42 – 4.1.1 = 12 → Diskriminant sıfırdan büyük.  Yani iki farklı reel kök var.

Kökleri bulurken;  işlemini uygulayacağız.

Buradan da köklerimiz Ç.K  olarak bulunacaktır.

ÖRNEK 7: 4x2 – 20x + 25 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Yukarıdaki denklem (2x – 5).(2x – 5) olarak çarpanlarına ayrılabiliyor. Çarpanları aynı olduğundan kökleri de         şeklinde çakışık olarak gelir. ->->-> Ç.K =

NOT: Diskriminant yöntemi tüm ikinci dereceden denklemler için kullanılabilir. Yalnız denklem çarpanlarına ayrılabiliyorsa, çarpanlara ayırma yöntemi ile çözmek çok daha basittir. Bu yüzden denklemleri çözerken öncelikle çarpanlarına ayrılıp ayrılmadığını bulmak bizlere zaman açısından kazanç sağlayacaktır.

 

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir